Question

已知函数f（x）=

m2x+ 2

2x+1

是奇函数．
（1）求m；
（2）求f（x）的值域；
（3）判断f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）为定义域R上的奇函数，则f（0）=0，计算即可得到m；
（2）将f（x）解析式变量分离，将分子常数化，再由指数函数的值域，由不等式的性质，即可得到值域；
（3）运用指数函数的单调性，结合函数的单调性的性质，即可得到所求的单调性．

解答： 解：（1）f（x）为定义域R上的奇函数，
则f（0）=0，即有

m•20+ 2

20+1

=0，解得m=-

2

；
（2）由f（x）=

- 2 (2x-1)

2x+1

=-

2

+

2 2

2x+1

，
由于2^x＞0，2^x+1＞1，0＜

2 2

2x+1

＜2

2

，
则-

2

＜f（x）＜

2

，
即值域为（-

2

，

2

）；
（3）由f（x）=

- 2 (2x-1)

2x+1

=-

2

+

2 2

2x+1

，
y=2^x在R上递增，则

2 2

2x+1

在R上递减，
故f（x）在R上为减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的值域的求法，考查函数的单调性的判断，考查运算能力，属于基础题．