Question

16．动圆P和圆C₁：（x+1）²+y²=$\frac{1}{4}$外切和圆C₂：（x-2）²+y²=$\frac{49}{4}$内切，那么动圆圆心P和已知两圆的圆心C₁、C₂构成三角形PC₁C₂的周长等于（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由两圆的方程分别找出圆心C₁与C₂的坐标，及两圆的半径r₁与r₂，设圆P的半径为r，根据圆P与C₁外切，得到圆心距PC₁等于两半径相加，即PC₁=r+$\frac{1}{2}$，又圆P与C₂内切，得到圆心距PC₂等于两半径相减，即PC₂=$\frac{5}{2}$-r，由PC₁+PC₂等于常数2a，C₁C₂等于常数2c，可得出圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为a，短半轴为b的椭圆上，即可得出结论．

解答 解：由圆C₁：（x+1）²+y²=$\frac{1}{4}$和圆C₂：（x-2）²+y²=$\frac{49}{4}$，
得到C₁（-1，0），半径r₁=$\frac{1}{2}$，C₂（2，0），半径r₂=$\frac{7}{2}$，
设圆P的半径为r，
∵圆P与C₁外切而又与C₂内切，
∴PC₁=r+$\frac{1}{2}$，PC₂=$\frac{7}{2}$-r，
∴PC₁+PC₂=（r+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{7}{2}$-r）=2a=4，又C₁C₂=2c=3，
∴a=2，c=1.5，
∴圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为4的椭圆上
∴动圆圆心P和已知两圆的圆心C₁、C₂构成三角形PC₁C₂的周长等于2a+2c=7．
故选：C．

点评 此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径R，r的关系来判断，当d＜R-r时，两圆内含；当d=R-r时，两圆内切；当R-r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．