Question

已知椭圆的离心率，且直线是抛物线的一条切线.
（1）求椭圆的方程；
（2）点P 为椭圆上一点，直线，判断l与椭圆的位置关系并给出理由；
（3）过椭圆上一点P作椭圆的切线交直线于点A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

(1) ;(2)直线l与椭圆相切;(3)

试题分析：(1)直线是抛物线的一条切线.所以将直线代入抛物线方程，即，得出的值，利用，椭圆中,依次解出,从而解出方程；
（2）直线与椭圆方程联立，注意用到平方相减消，得到关于的方程，求其，利用点在椭圆上的条件，判定直线与椭圆的位置关系;
（3）首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时,求其切线方程，并求他们的交点，交点有可能是恒过的定点，如果是圆上恒过的定点，如果是则需满足，,从而判定所求交点是否是真正的定点.此题属于较难习题.
试题解析：（1）因为直线是抛物线的一条切线，所以，
即        2分
又，所以，
所以椭圆的方程是.                 4分
（2）由得

①

②

由①²+②得

 
∴直线l与椭圆相切                9分
(3）首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时，
求得两圆的方程为
，
两圆相交于点（，0），（，0），
若定点为椭圆的右焦点（.
则需证：.
设点，则椭圆过点P的切线方程是，
所以点
，
 所以.                    11分
若定点为，
则，不满足题意.
综上，以线段AP为直径的圆恒过定点（，0）.      14分