Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m>0，y₁>0，y₂<0.

(1)设动点P满足PF²－PB²＝4，求点P的轨迹；
(2)设x₁＝2，x₂＝，求点T的坐标；
(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

Answer 1

（1）x＝（2）（3）见解析

(1)解：设点P(x，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF²－PB²＝4，得(x－2)²＋y²－[(x－3)²＋y²]＝4，化简得x＝，故所求点P的轨迹为直线x＝.
(2)解：将x₁＝2，x₂＝分别代入椭圆方程，以及y₁>0，y₂<0得M、N.直线MTA的方程为，即y＝x＋1.直线NTB的方程为，即y＝x－.联立方程组，解得所以点T的坐标为.
(3)证明：点T的坐标为(9，m)，直线MTA的方程为，即y＝(x＋3)．直线NTB的方程为，即y＝(x－3)．
分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x₁≠－3，x₂≠3，解得
M、N
(证法1)当x₁≠x₂时，直线MN的方程为，令y＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x₁＝x₂时，直线MN的方程为x＝1，与x轴交点为D(1，0)，所以直线MN必过x轴上的一定点D(1，0)．
(证法2)若x₁＝x₂，则由及m>0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，

过点D(1，0)．若x₁≠x₂，则m≠2.直线MD的斜率k_MD＝，
直线ND的斜率k_ND＝，得k_MD＝k_ND，所以直线MN过D点．
因此，直线MN必过x轴上的点D(1，0)．