Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的最小距离为，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交于、两点，点，问是否存在，使?若存在求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）由椭圆上的点到焦点的最小距离为，即.又离心率.解出的值.即可求出.从而得到椭圆的方程.
（2）直线交于、两点，点，若存在，使.由直线与椭圆的方程联立以及韦达定理可得到关于的等式.再由向量的垂直同样可得到关于点的坐标的关系式.即可得到结论.
（1）设椭圆E的方程为 ，
由已知得    ，，从而     （2分）
 椭圆E的方程为                             （4分）
（2）由  
设 、， 则 ，，
                 （6分）
由题意 ，     （8分）
要，就要， 又 ，
 ，
，      （10分）
 或，又，，
故存在 使得．                       （12分）