Question

已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同交点，求实数的取值范围；
(3)设(2)中直线与双曲线交于两个不同点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：(1)要求双曲线的标准方程，必须找到关于的两个等式，题中一条渐近线方程为，说明，这是一个等式，点在双曲线上，那么此点坐标适合双曲线方程，代入进去又可得到一个等式，这样可解得；(2)直线与双曲线有两个不同的交点，直接把直线方程与双曲线方程联立方程组，此方程组有两解，方法是消去一个元，得到关于的二次方程，此方程是二次方程有两个不等的实根，则；(3)题设条件说明，如果设，则有，可用表示出来，而在(2)中可用表示出来，代入刚才的等式，得到的方程，可解得．
试题解析：(1)由题知，有
解得
因此，所求双曲线的方程是．
(2)∵直线过点且斜率为，
∴直线：．
联立方程组得．
又直线与双曲线有两个不同交点，
∴
解得．
(3)设交点为，由(2)可得
又以线段为直径的圆经过坐标原点，
因此，为坐标原点）．
于是，即，，
，解得．
又满足，且，
所以，所求实数．