Question

已知椭圆：（）的焦距为，且过点（，），右焦点为．设，是上的两个动点，线段的中点的横坐标为，线段的中垂线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）的取值范围为．

试题分析：（I）利用椭圆的几何性质，建立的方程组即得；
（2） 讨论当直线AB垂直于轴时，直线AB方程为，此时、 ，得．
当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为()， ()， ，，利用“点差法”，首先得到；
得到 的直线方程为．即．
联立 消去 ，整理得．
设 ，，应用韦达定理，得到．
根据在椭圆的内部，得到
进一步得到的取值范围为．
试题解析：（1） 因为焦距为，所以．因为椭圆过点（，），
所以．故，  2分
所以椭圆的方程为     4分

（2） 由题意，当直线AB垂直于轴时，直线AB方程为，此时、 ，得．   5分
当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为()， ()， ，
由  得，则，
故．                                   6分
此时，直线斜率为， 的直线方程为．
即．
联立 消去 ，整理得．
设 ，
所以，．            9分
于是

．  11分
由于在椭圆的内部，故
令，，则．         12分
又，所以．
综上，的取值范围为．                 13分