Question

某高校甲，乙，丙，丁四位研究生新生可通过抽签的方式，在A，B，C，D四位老师为导师，且他们对导师的选择相互独立．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人都选择D为导师的概率；
（Ⅱ）求四位研究生至少有一人选择C作为导师的概率；
（Ⅲ）设四位选手选择B为导师的人数ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由甲、乙、丙三人每个人选择D为导师的概率均为

1

4

，能求出甲、乙、丙三人都选择D为导师的概率．（Ⅱ）利用对立事件概率公式能求出四位研究生至少有一人选择C作为导师的概率．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵甲、乙、丙三人每个人选择D为导师的概率均为

1

4

，
∴甲、乙、丙三人都选择D为导师的概率：
p₁=

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

64

．
（Ⅱ）四位研究生至少有一人选择C作为导师的概率：
p₂=1-（

3

4

）⁴=

175

256

．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C

0 4

(

3

4

)4=

84

256

，
P（X=1）=

C

1 4

(

1

4

)(

3

4

)3=

27

64

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

4

)2(

3

4

)2=

27

128

，
P（X=3）=

C

3 4

(

1

4

)3(

3

4

)=

3

64

，
P（X=4）=

C

4 4

(

1

4

)4=

1

256

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	84 256	27 64	27 128	3 64	1 256

EX=0×

84

256

+1×

27

64

+2×

27

128

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．