Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，AA₁=，D是CB延长线上一点，且BD=BC.
（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的大小；
（3）求三棱锥C₁-ABB₁的体积。

Answer 1

（I），又，
四边形是平行四边形， 。
又平面，平面，
直线平面
（Ⅱ）过作于，连结
平面，，
是二面角的平面角。
，是的中点，。
在中， 
，即二面角的大小为60°
Ⅲ）过作于，
平面，平面平面，
平面且为点到平面的距离。
，
。

分析：（1）根据三棱柱的性质，可以证出BC∥DB，结合线面平行的判定定理可以证出直线BC∥平面AB1D；
（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB，根据三垂线定理得∠BEB是二面角B-AD-B的平面角．在Rt△BBE中，利用三角函数的定义可算出∠B1EB=60°，即二面角B-AD-B的大小为60°．
（3）过A作AF⊥BC于F，利用面面垂直的性质定理，可得AF⊥平面BBCC，即AF等于点A到平面BCB的距离．利用等边三角形计算出AF的长为 ，结合三角形BCB的面积等于 ，用锥体体积公式可以算出三棱锥C-ABB的体积．
解答：解：（1）∵CB∥CB，且BD=BC=BC，
∴四边形BDBC是平行四边形，可得BC∥DB．
又BD?平面AB1D，BC?平面ABD，
∴直线BC∥平面ABD
（2）过作于，连结
平面，，
是二面角的平面角。
，是的中点，。
在中， 
，即二面角的大小为60°
(3）过作于，
平面，平面平面，
平面且为点到平面的距离。
，
。
点评：本题以一个特殊正三棱柱为载体，适当加以变化，求三棱锥的体积并求二面角的大小，着重考查了空间线面平行的判定、面面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．