Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）证明 平面；
（2）证明平面EFD；
（3）求二面角的大小．

Answer 1

（1）略  （2）略  （3）
解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.

依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，
故点G的坐标为且. 这表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
(2)证明：依题意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD.
(3)解：设点F的坐标为则
从而所以
由条件知，即    解得 。
点F的坐标为 且
,即，故是二面角的平面角.
∵且
,所以，二面角C—PC—D的大小为

本试题主要考查了立体几何中线面平行的判定，线面垂直的判定，以及二面角的求解的综合运用试题。体现了运用向量求解立体几何的代数手法的好处。