Question

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 证明：BD⊥平面PAC；
(2) 若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．

Answer 1

(1)见解析；(2).

试题分析：(1)先利用直线与平面垂直的性质定理，得到 和 ，因为 ，所以利用直线与平面垂直的判定定理可知， ；(2)首先分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系，由直线与平面垂直的性质定理得到，那么矩形为正方形，由此可知此正方形的边的长度，根据坐标系表示四棱锥出各个顶点的坐标，分别求出平面和平面的法向量的坐标，根据二面角与其法向量夹角的关系，求得二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系得到所求二面角的正切值.
试题解析：(1)证明　∵，，∴．2分
同理由，可证得．
又，∴．                               4分
(2)如图，分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系．

由(1)知，又， ∴．
故矩形为正方形，∴．     6分
∴．
∴．
设平面的一个法向量为，则，即，
∴，取，得．
∵，∴为平面的一个法向量．10分
所以．                  11分
设二面角的平面角为，由图知，，所以．
∴ 所以，即二面角的正切值为．    12分