Question

【题目】已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，

（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；

（2）若A是空集，求a的取值范围；

（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列不等式，解得结果，（3）A中至多只有一个元素就是A为空集，或有且只有一个元素，所以求（1）（2）结果的并集即可.

（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，

当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，

当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，

（2）若A是空集，

则方程ax2+2x+1=0无解，

此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.

（3）若A中至多只有一个元素，

则A为空集，或有且只有一个元素，

由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.