题目内容
【题目】已知向量 =(sinx,1),
=(
Acosx,
cos2x)(A>0),函数f(x)=
的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图象像左平移 个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0,
]上的值域.
【答案】
(1)解:函数f(x)=
=
=A( )
=Asin(2x+ ).
因为A>0,由题意可知A=6.
(2)解:由(1)f(x)=6sin(2x+ ).
将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到,
y=6sin[2(x+ )+
]=6sin(2x+
).的图象.再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
倍,
纵坐标不变,得到函数y=6sin(4x+ )的图象.因此g(x)=6sin(4x+
).
因为x∈[0, ],所以4x+
,4x+
=
时取得最大值6,4x+
=
时函数取得最小值﹣3.
故g(x)在[0, ]上的值域为[﹣3,6].
【解析】(1)利用向量的数量积展开,通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为,一个角的一个三角函数的形式,通过最大值求A;(2)通过将函数y=f(x)的图象像左平移 个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求出g(x)的表达式,通过x∈[0,
]求出函数的值域.
【考点精析】关于本题考查的函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换和三角函数的最值,需要了解图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象;函数
,当
时,取得最小值为
;当
时,取得最大值为
,则
,
,
才能得出正确答案.
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