Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD， ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．

（1）证明：PC⊥平面BED；
（2）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，

设D（ ，b，0），则C（2 ，0，0），P（0，0，2），E（ ，0， ），B（ ，﹣b，0）

∴ =（2 ，0，﹣2）， =（ ，b， ）， =（ ，﹣b， ）

∴ = ﹣ =0， =0

∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E

∴PC⊥平面BED

（2）

解： =（0，0，2）， =（ ，﹣b，0）

设平面PAB的法向量为 =（x，y，z），则

取 =（b， ，）

设平面PBC的法向量为 =（p，q，r），则

取 =（1，﹣ ， ）

∵平面PAB⊥平面PBC，∴ =b﹣ =0．故b=

∴ =（1，﹣1， ）， =（﹣ ，﹣ ，2）

∴cos＜ ， ＞= =

设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0， ]，则sinθ=

∴θ=30°

∴PD与平面PBC所成角的大小为30°

【解析】（1）先由已知建立空间直角坐标系，设D（ ，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定和向量语言表述线面的垂直、平行关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可;设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若．