Question

【题目】设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3 ． 又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在 上的零点个数为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8

Answer 1

【答案】B
【解析】解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3 ．
所以当x∈[1，2]时2﹣x∈[0，1]，
f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3 ，
当x∈[0， ]时，g（x）=xcos（πx），
g′（x）=cos（πx）﹣πxsin（πx）；
当x∈ 时，g（x）=﹣xcosπx，
g′（x）=πxsin（πx）﹣cos（πx）．
注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，
且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，
f（﹣ ）=f（ ）= ，f（ ）=（2﹣ ）3= ，
g（﹣ ）=g（ ）=g（ ）=0，g（1）=1，
g′（1）=1＞0，
根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，
函数h（x）除了0、1这两个零点之外，
分别在区间[﹣ ，0]，[0， ]，[ ，1]，[1， ]上各有一个零点．
共有6个零点，
故选B

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．