Question

14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2017^x+log2017x，则f（x）在R上的零点的个数为3．

Answer 1

分析 x＞0时，求f′（x），并容易判断出f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数．然后判断有没有x₁，x₂使得f（x₁）f（x₂）＜0：分别取x=2017^-2017，1，便可判断f（2017^-2017）＜0，f（1）＞0，从而得到f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数的对称性便得到f（x）在（-∞，0）上有一个零点，而因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，这样便得到在R上f（x）零点个数为3．

解答 解：x＞0时，f′（x）=2017^xln2017+$\frac{1}{xln2017}$＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
取x=2017^-2017，则f（2017^-2017）=$201{7}^{\frac{1}{2017}}$-2017＜0，又f（1）=2017＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上有一个零点，根据奇函数关于原点对称，f（x）在（-∞，0）也有一个零点；
又f（0）=0；
∴函数f（x）在R上有3个零点．
故答案为：3．

点评 考查奇函数的概念，函数导数符号和函数单调性的关系，函数零点的概念，以及判断函数在一区间上有没有零点，以及有几个零点的方法，奇函数图象关于原点的对称性．