Question

已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面平行的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，利用线面平行的判定定理，先找出面内的一条线，利用平行四边形证明，从而证明线面平行；第二问，用向量法解题，先建立直角坐标系，求出2个平面的法向量，再求夹角.
试题解析： (1)证明：取的中点，连结.
∴，且，
又，∴.
又是的中点，且，
∴，∴四边形是平行四边形．
∴.
又平面，平面.
∴平面.(6分)
(2)解：以为原点，如图建立直角坐标系，则，，，，，，．

设平面的法向量为，，．
则可得，令，则．
易得平面的法向量可为，
；
如图，易知二面角的余弦值等于，即为. （12分）