题目内容
（本题满分14分 ）如图，在三棱柱
中，所有的棱长都为2，
.
（1）求证：
；
（2）当三棱柱的体积最大时，
求平面
与平面
所成的锐角的余弦值.
中，所有的棱长都为2，. （1）求证：
；（2）当三棱柱
的体积最大时，求平面
与平面所成的锐角的余弦值.（1）见解析；（2）
.
.(1)因为,取AC的中点M，连接BM，A1M，可知三角形A1AC和三角形ABC都为正三角形，所以易证AC垂直平面A1MB，从而证得
.
(2) 当三棱柱的体积最大时，点
到平面的距离最大，此时
平面.由（1）知A1在底面的射影一定在直线BM上，并且三角形A1MB是等腰三角形，
所以当O与M重合时，点到平面的距离最大.然后在此基础上再求二面角的大小即可.
另解：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.以
所在的直线分别为
轴，建立直角坐标系，依题意得
.
由
得
，设平面的一个法向量为
而
，则
，取
而平面，则平面的一个法向量为
于是
，
故平面与平面所成锐角的余弦值为.
,取AC的中点M，连接BM，A1M，可知三角形A1AC和三角形ABC都为正三角形，所以易证AC垂直平面A1MB，从而证得.(2) 当三棱柱
的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.由（1）知A1在底面的射影一定在直线BM上，并且三角形A1MB是等腰三角形，所以当O与M重合时，点
到平面的距离最大.然后在此基础上再求二面角的大小即可.另解：当三棱柱
的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.以所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，依题意得.由
得，设平面的一个法向量为而
，则，取而
平面，则平面的一个法向量为于是
，故平面
与平面所成锐角的余弦值为.
练习册系列答案
相关题目
中，底面
是矩形，
平面
，
，
分别是
的中点.
平面
；
的余弦值.
的底面是正方形，
，点E在棱PB上.若AB=
,
； 
AD=1，CD=
.
，
，
，则
与
的位置关系是_______.
的底面边长为
，高为
是边
的中点，动点
在这个棱锥表面上运动，并且总保持
，则动点
、
与平面
、
的命题中,正确的是 （ ）
,
，则
，
，
，且
,
中，
平面
，底面
⊥
，
⊥
，
为
中点．
的余弦值.