Question

1．（1）已知圆C：（x-2）²+（y-2）²=18与直线l：x+y-2=0，求圆上点到直线l距离的取值范围．
（2）若圆C：（x-2）²+（y-2）²=r²上至少有三个不同的点到直线l：x+y-2=0的距离为2$\sqrt{2}$，求圆半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先判断直线与圆的位置关系，然后将问题转化为圆心到直线的距离问题；
（2）结合圆的对称性，当半径减去圆心到直线的距离大于或等于$2\sqrt{2}$，时，圆上至少有三个点到直线的距离为2$\sqrt{2}$，据此列出关于r的不等式求解即可．

解答 解：（1）由已知得圆心为（2，2），半径r=$3\sqrt{2}$．
则圆心到直线l：x+y-2=0的距离为d=$\frac{|2+2-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$＜r．
所以圆上的点到直线的距离最小值为0，最大值为d+r=4$\sqrt{2}$．
故圆上点到直线l距离的取值范围是$[0，4\sqrt{2}]$．
（2）要使圆C：（x-2）²+（y-2）²=r²上至少有三个不同的点到直线l：x+y-2=0的距离为2$\sqrt{2}$，
只需$r-\frac{|2+2-2|}{\sqrt{2}}≥2\sqrt{2}$．
解得$r≥3\sqrt{2}$．
故圆半径r的取值范围是$[3\sqrt{2}，+∞）$．

点评 本题只要是考查了直线与圆的位置关系，一般转化为圆心到直线的距离问题来解．