Question

6．圆C的圆心C（1，2），该圆上一个动点P到直线l：x+y+1=0的距离的最小值为$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点C作两条互相垂直的直线与直线l交于A，B两个点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心到直线的距离d=$\frac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，利用圆上一个动点P到直线l：x+y+1=0的距离的最小值为$\sqrt{2}$，求出圆的半径，即可求圆C的标准方程；
（2）由题意，求|AB|的最小值，即求C到直线距离的最小值．

解答 解：（1）圆心到直线的距离d=$\frac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵圆上一个动点P到直线l：x+y+1=0的距离的最小值为$\sqrt{2}$，
∴圆的半径为$\sqrt{2}$，
∴圆C的标准方程为（x-1）²+（y-2）²=2；
（2）由题意，求|AB|的最小值，即求C到直线距离的最小值，
∵圆心到直线的距离为2$\sqrt{2}$，
∴|AB|的最小值为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的方程，考查点到直线距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．