Question

1．已知函数f（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+2x+b}}$的定义域是R，且有极值点．
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）求证：方程f（x）=$\frac{1}{2}$恰有一个实根．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，定义域是R，知4-4b＜0得b＞1；由f'（x）=0得x²=2-b≥0，故b≤2．当b=2时，$f'（x）=\frac{{{x^2}{e^x}}}{{{{（{{x^2}+2x+2}）}^2}}}≥0$，函数f（x）在R上单调递增，无极值点，即可求实数b的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）的两个极值点为$m=-\sqrt{2-b}∈（{-1，0}）$，$n=\sqrt{2-b}∈（{0，1}）$，说明$f（x）=\frac{1}{2}$在（m，+∞）上无解，$f（x）=\frac{1}{2}$在（-∞，m）上恰有一解．

解答 （Ⅰ）解：由$f（x）=\frac{e^x}{{{x^2}+2x+b}}$的定义域是R，知4-4b＜0得b＞1.$f'（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}+2x+b-2x-2}）}}{{{{（{{x^2}+2x+b}）}^2}}}=\frac{{{e^x}（{{x^2}+b-2}）}}{{{{（{{x^2}+2x+b}）}^2}}}$，
由f'（x）=0得x²=2-b≥0，故b≤2．
当b=2时，$f'（x）=\frac{{{x^2}{e^x}}}{{{{（{{x^2}+2x+2}）}^2}}}≥0$，函数f（x）在R上单调递增，无极值点．
∴所求范围为1＜b＜2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数f（x）的两个极值点为$m=-\sqrt{2-b}∈（{-1，0}）$，$n=\sqrt{2-b}∈（{0，1}）$，

x	（-∞，m）	m	（m，n）	n	（n，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

极小值$f（n）=\frac{e^n}{{{n^2}+2n+b}}=\frac{e^n}{{（{2-b}）+2n+b}}=\frac{e^n}{2n+2}$．（下面证明$\frac{e^n}{2n+2}＞\frac{1}{2}$）
记g（x）=e^x-（x+1）（0≤x＜1），g'（x）=e^x-1≥0
∴g（x）在[0，1）上是单调递增函数
∴当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0）=0，即e^x＞x+1
由$n=\sqrt{2-b}∈（{0，1}）$知，$\frac{e^n}{2n+2}＞\frac{n+1}{2n+2}=\frac{1}{2}$．
这说明$f（x）=\frac{1}{2}$在（m，+∞）上无解．
又$f（{-2}）=\frac{{{e^{-2}}}}{b}＜\frac{1}{e^2}＜\frac{1}{2}$，$f（m）＞f（n）＞\frac{1}{2}$，且f（x）在（-∞，m）上单调递增，
∴$f（x）=\frac{1}{2}$在（-∞，m）上恰有一解
综上所述，$f（x）=\frac{1}{2}$在R上恰有一解．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．