题目内容

13.点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)上一点,F是右焦点,且△OPF是∠POF=120°的等腰三角形(O为坐标原点),则双曲线的离心率是$\sqrt{3}$+1.

分析 由题意可得P在双曲线的左支上,可设P在第二象限,且|OP|=|OF|=c,即有P(-ccos60°,csin60°),代入双曲线方程,由离心率公式,解方程即可得到结论.

解答 解:由题意可得P在双曲线的左支上,
可设P在第二象限,且|OP|=|OF|=c,
即有P(-ccos60°,csin60°),
即为(-$\frac{1}{2}$c,$\frac{\sqrt{3}}{2}$c),
代入双曲线方程,可得
$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1,
即为$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4({c}^{2}-{a}^{2})}$=1,
由e=$\frac{c}{a}$,可得$\frac{1}{4}$e2-$\frac{3{e}^{2}}{4({e}^{2}-1)}$=1,
化简可得e4-8e2+4=0,
解得e2=4±2$\sqrt{3}$,
由e>1,可得e=$\sqrt{3}$+1.
故答案为:$\sqrt{3}$+1.

点评 本题考查双曲线的方程和性质,主要方程的运用和离心率的求法,正确判断P的位置和求出P的坐标是解题的关键.

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