Question

1．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，A₁，A₂分别为椭圆C₁的左右顶点，椭圆C₂以线段A₁A₂为短轴且与椭圆C₁为“相似椭圆”
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设P为椭圆C₂上异于A₁，A₂的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C₁于H，求证：H为△PA₁A₂的垂心（垂心为三角形三条高的交点）

Answer 1

分析 （1）椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的离心率为：e=$\sqrt{1-\frac{3}{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．设椭圆C₂的方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），b=$\sqrt{6}$，利用两个椭圆“相似”，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{1-\frac{6}{{a}^{2}}}$，解得a²，即可得出．
（2）设P（m，n），则$\frac{{n}^{2}}{12}+\frac{{m}^{2}}{6}$=1．把x=m代入椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得H$（m，\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}）$．要证明H为△PA₁A₂的垂心，只要证明${k}_{{A}_{1}H}$$•{k}_{P{A}_{2}}$=-1即可．

解答 （1）解：椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的离心率为：e=$\sqrt{1-\frac{3}{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
设椭圆C₂的方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），b=$\sqrt{6}$，
∵两个椭圆“相似”，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{1-\frac{6}{{a}^{2}}}$，解得a²=12．
∴椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{6}=1$．
（2）证明：设P（m，n），则$\frac{{n}^{2}}{12}+\frac{{m}^{2}}{6}$=1．
把x=m代入椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得：y=$\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}$．
∴H$（m，\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}）$．
∴${k}_{{A}_{1}H}$=$\frac{\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}}{m+\sqrt{6}}$，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n}{m-\sqrt{6}}$，
∴${k}_{{A}_{1}H}$$•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}}{m+\sqrt{6}}$×$\frac{n}{m-\sqrt{6}}$=$\frac{n\sqrt{3-\frac{{m}^{2}}{2}}}{{m}^{2}-6}$=-$\frac{n}{\sqrt{2}\sqrt{6-{m}^{2}}}$=-1，
∴A₁H⊥PA₂．
∴H为△PA₁A₂的垂心．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、相互垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．