Question

已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心在直线l：x-y+1=0上．
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）点P是圆C上的任一点，求当点P到直线x+y-5=0的距离最小时，P点的坐标．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设圆心为（a，a+1），则

(a-1)2+a2

=

(a-2)2+(a+3)2

，即可求出圆心与半径，从而可求圆心为C的圆的标准方程；
（2）圆心C到直线x+y-5=0的距离最小时，点P到直线x+y-5=0的距离最小，直线x-y+1=0与圆的方程联立，即可求出P点的坐标．

解答： 解：（1）设圆心为（a，a+1），则

(a-1)2+a2

=

(a-2)2+(a+3)2

，
∴a=-3，
∴圆心C（-3，-2），半径为5，
∴圆心为C的圆的标准方程为（x+3）²+（y+2）²=25；
（2）圆心C到直线x+y-5=0的距离最小时，点P到直线x+y-5=0的距离最小，
直线x-y+1=0与圆的方程联立，可得x=-3±

5

2

2

，
∴当点P到直线x+y-5=0的距离最小时，P点的坐标为（-3+

5

2

2

，-2+

5

2

2

）．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．