Question

向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ），α、β∈R且α、β、（α+β均不等于

π

2

+kπ，k∈Z）．
（1）求|

b

+

c

|的最大值；
（2）当

a

∥

b

，且

a

⊥（

b

-2

c

）时，求tanα-tanβ的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量坐标运算及求模公式解得即可；
（2）利用向量的坐标运算由

a

•(

b

-2

c

)=0可得到sin（α+β）=2cos（α+β），从而可得tan（α+β）的值．

解答： 解：（1）

b

+

c

=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴|

b

+

c

|=

17-15sin2β

≤

32

=4

2

，当且仅当β=-

π

4

+kπ（k∈Z）时取等号，故最大值为4

2

．
（2）

a

∥

b

⇒16cosαcosβ=sinαsinβ⇒tanαtanβ=16，
由

a

•(

b

-2

c

)=0得，sin（α+β）=2cos（α+β），
联立以上两式得tan（α+β）=-30．

点评：本题主要考查向量的坐标运算及求模公式、向量垂直的条件等知识，属于中档题．