Question

正项数列{a_n}中，a₁=2，a₂=8，a_n²a_n-2=2a_n-1³（n＞3）．
（1）设b_n=log₂

an+1

2an

，求证数列{b_n}为等比数列，并求通项b_n；
（2）设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

an2

(2an-1)2

=

an-1

2an-2

，由此能证明数列{b_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，从而能求出bn=

1

2n-1

．
（2）由cn=nbn=

n

2n-1

，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由已知得

an2

(2an-1)2

=

an-1

2an-2

，
∴log2

an2

(2an-1)2

=log2

an-1

2an-2

即2bn-1=bn-2(n＞3)，
又b1=log2

a2

2a1

=1，
∴数列{b_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列．
∴bn=

1

2n-1

．…（6分）
（2）∵cn=nbn=

n

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

，
两式相减得：

1

2

Tn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

，
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．…（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．