Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^{-x}}-2，x≤0\\ 2ax-1，x＞0\end{array}$（a＞0），对于下列命题：
（1）函数f（x）的最小值是-1；
（2）函数f（x）在R上是单调函数；
（3）若f（x）＞0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1，
其中真命题的序号是（1）．

Answer 1

分析 画出图象，根据图象判定（1），（2），对于（3）由图象说明函函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是单调增函数，f（x）_min＞0即可，
即f（$\frac{1}{2}$）≥0解，得a的取值范围是a≥1；

解答 解：对于（1），由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是-1；故正确；
对于（2），由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；
对于（3）由图象说明函函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是单调增函数，f（x）_min＞0即可，
即f（$\frac{1}{2}$）≥0解，得a的取值范围是a≥1；故错；
答案为：（1）

点评 利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法