Question

17．（实验班做）某市规定中学生百米成绩达标标准为不超过16秒．现从该市中学生中按照男、女生比例随机抽取了50人，其中有30人达标．将此样本的频率估计为总体的概率．
如果男、女生采用相同的达标标准，男、女生达标情况如下表：

	男	女	总计
达标	a=24	b=6	30
不达标	c=	d=12	20
总计	32	18	n=50

（1）根据表中所给的数据，完成2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.01的前提下能否认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否给出一个更合理的达标方案？
附：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.025	0.01	0.005	0.001
k0	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）随机调查45名学生，设ξ为达标人数，求ξ的数学期望与方差．

Answer 1

分析 （1）由已知求出k²，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”，男、女生要使用不同的达标标准．
（2）由题意可知，随机抽取1人，ξ～B（45，0.6），由此能求出ξ的数学期望与方差．

解答 解：（1）由已知得：

	男	女	总计
达标	a=24	b=6	30
不达标	c=8	d=12	20
总计	32	18	n=50

k²=$\frac{50×（24×12-6×8）^{2}}{32×18×30×20}$≈8.333＞6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”．
故男、女生要使用不同的达标标准．
（2）由题意可知，随机抽取1人，则此人百米成绩达标的概率为$\frac{30}{50}$=0.6．
由题设可知，ξ～B（45，0.6）
故E（ξ）=45×0.6=27，D（ξ）=45×0.6×0.4=10.8．

点评 本题考查2×2列联表的应用，考查离散型随机变量的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．