Question

 如图，直三棱柱中,，，，,点在线段上．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）若是中点，证明∥平面；

（Ⅲ）当时，求二面角的余弦值．

Answer 1

  证明：（Ⅰ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则 (3, 0, 0)，

 (0, 4, 0)， (0, 4, 4)， (3, 0, 4)， (0, 4, 4)．

  

     所以      

（Ⅱ）解法一：

 

设平面B₁ CD的法向量为，

由 

且，

令x = 4得，

所以  

又  所以 AC₁∥平面B₁CD；

解法二：证明：连结BC₁，交B₁C于E，DE．

因为 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中点，

所以侧面B B₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线，

所以 DE// AC₁．                                            

因为 DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，                    

所以 AC₁∥平面B₁CD．            　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，

设D (a, b, 0)（，），

因为 点D在线段AB上，且， 即．

所以 ，，．

所以，．

平面BCD的法向量为．

设平面B₁ CD的法向量为，

由 ，， 得 ，

所以 ，，．                     

设二面角的大小为，

所以  ．

所以  二面角的余弦值为．