Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB=2CD，AC交BD于O，锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ=2QC．
求证：（1）PA∥平面QBD；
（2）BD⊥AD．

Answer 1

分析 （1）连接OQ，可得PA∥OQ，即可证得PA∥平面QBD．
（2）在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，可得PH⊥平面ABCD，即可得PH⊥BD，可得到以BD⊥平面PAD，即BD⊥AD．

解答 解：（1）如图，连接OQ，因为AB∥CD，AB=2 CD，
所以AO=2OC，又PQ=2QC，
所以PA∥OQ，…（3分）
又OQ?平面QBD，PA?平面QBD，
所以PA∥平面QBD．…（6分）
（2）在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PH?平面PAD，所以PH⊥平面ABCD，…（9分）
又BD?平面ABCD，所以PH⊥BD，又PA⊥BD，
且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAD，…（12分）
又AD?平面PAD，所以BD⊥AD．…（14分）

点评 本题考查了空间线面平行的判定，线线垂直的判定，考查了转化思想，属于中档题．