Question

【题目】已知数列{an}是首项为a1＝，公比q＝的等比数列，设，数列满足cn＝an·bn.

(1)求证：{bn}是等差数列；

(2)求数列{cn}的前n项和Sn；

(3)若cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）Sn＝ (n∈N＋)（3）或

【解析】试题分析：（1）利用等差数列的定义证明数列是等差数列即可；（2）根据数列的通项特点，采用错位相减法求数列的前n项和；（3）利用数列的单调性求数列的最大值，问题转化为解含m的不等式即可.

试题解析：(1)证明：由题意知， ，

∵， ，

∴，

∴数列是首项的等差数列．

(2)由(1)知， ，

∴，

∴；

于是

两式相减得：

∴．

(3)∵，

∴当时， ，

当时， ，即，

∴当n＝1或2时， 取得最大值是.

又对一切正整数恒成立，

∴，

即，解得或.