Question

【题目】已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．

（1）求圆C的方程；

（2）若，求实数k的值；

（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=4（2）k=0（3）存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．

【解析】试题分析：（1）先求出AB中垂线方程，再与直线y=x联立求出交点即为圆心，最后根据圆心到A点距离等于半径，写出圆方程（2）联立直线y=kx+1与圆方程，根据向量数量积以及韦达定理化简可得实数k的值；（3）设E,F坐标，则可表示出以EF为直径的圆方程，再设直线m点斜式方程与圆C方程联立，利用韦达定理以及以EF为直径的圆过点M（2，0）求出直线m斜率，代入即得以EF为直径的圆方程，最后讨论直线m斜率不存在时是否满足题意

试题解析：解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．

因为圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），

所以|AC|=|BC|=r，

即，

解得a=0，r=2，

所以圆C的方程是x2+y2=4．

（2）因为=2×2×cos＜，＞=﹣2，

且与的夹角为∠POQ，

所以cos∠POQ=﹣，∠POQ=120°，

所以圆心C到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，

又d=，所以k=0．

（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，

直线m经过圆C的圆心C，

此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，﹣2），

EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，

即圆C也是满足题意的圆．

（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，

由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，

由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则有①…

由①得，②，③

若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，

所以，

因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，

即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，…

则，

所以16k+32=0，k=﹣2，满足题意．…

此时以EF为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，

即，

亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．…

综上，在以EF为直径的所有圆中，

存在圆P：5x2+5y﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）． …