Question

若关于x的不等式|x+1|≥2|x|+a有实数解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：设f（x）=2|x|-|x+1|，通过对自变量x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，转化为分段函数，求出最小值，令-a不大于最小值，即可得到答案．

解答： 解：由于关于x的不等式|x+1|≥2|x|+a有实数解，
则有-a≥2|x|-|x+1|有实数解．
设f（x）=2|x|-|x+1|，
则f（x）=

x-1，x≥0 -3x-1，-1＜x＜0 -x+1，x≤-1

，
则有x≥0时，f（x）≥-1；
当-1＜x＜0时，-1＜f（x）＜2；
当x≤-1时，f（x）≥2．
则f（x）的值域为[-1，+∞）．
则有-a≥-1，即有a≤1．
则实数a的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查构造函数思想与分类讨论思想、数形结合思想的综合应用，属于中档题．