题目内容
【题目】如图，三棱柱
的侧面
是菱形，平面
平面，直线
与平面
所成角为
，
，
，
为
的中点．
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】分析：第一问首先借助于线段的长度关系，求得
，之后借助于面面垂直得到直线
与平面
所成角的平面角，利用题中条件所给角的大小，得到
，从而得到
为正三角形进一步得到
，借助于面面垂直的有关性质，得到
平面，下一步利用线面垂直的性质和判定定理证得结果，第二问就是利用空间向量求解即可.
详解：（1）证明：如图所示，连接
，
，在矩形中，
，
为
的中点，所以，
又因为平面
平面
，
所以直线在平面上的射影是直线，
所以直线与平面所成角为
，
因为直线与平面所成角为
，即，
所以为正三角形，又为的中点，则，
又平面平面，平面
平面
，
平面，
所以平面，
又
平面，所以
，且
，
所以
平面
，
又因为
平面，
所以
．
（2）解：设
为
中点，则
，所以
，
，
两两互相垂直，以为原点，分别以
，
，
为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
即
令
，得
，
同理可求得平面
的一个法向量为
，
，
由图知二面角
为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
【题目】某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入
世纪以来，该产品的产量平稳增长．记
年为第
年，且前
年中，第
年与年产量
万件之间的关系如下表所示：
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若近似符合以下三种函数模型之一：
，
，
．
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，
年的年产量比预计减少
，试根据所建立的函数模型，确定年的年产量．
【题目】某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取
个家庭，得到数据如下：
家庭编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
月收入x（千元） | 20 | 30 | 35 | 40 | 48 | 55 |
月支出y（千元） | 4 | 5 | 6 | 8 | 8 | 11 |
参考公式：回归直线的方程是：
，其中，
.
（1）据题中数据，求月支出
（千元）关于月收入
（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；
（2）从这个家庭中随机抽取
个，求月支出都少于
万元的概率.
