Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆上的一点，且满足∠F₁MF₂=

π

3

．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3

3

）到椭圆上的点最远距离为4

3

，求此时椭圆C的方程；
（3）设O为坐标原点，P是椭圆C上一个动点，试求t=

|PF1-PF2|

|OP|

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆定义，

c

a

=

|F1F2|

|MF1|+|MF2|

，设∠MF₁F₂=α，则0＜α＜

2π

3

，由正弦定理，

c

a

=

sin π 3

sinα+sin( 2π 3 -α)

=

1

2cos( π 3 -α)

，由此能求出离心率e的取值范围是[

1

2

，1）．
（2）e=

1

2

时，a=2c，b=

3

c，设P（2ccost，

3

csint），则PN²=（2ccost）²+（

3

csint-3

3

）²=-（csint+9）²+4c²+108，由|PN|≤4

3

，得c²+6c-7=0，c＞0，由此能求出椭圆的方程．
（3）当P由上顶点向右顶点运动时，|t|由0增大至

a-c

a

=1-e，由此能求出t的取值范围．

解答： 解：（1）由椭圆定义，

c

a

=

|F1F2|

|MF1|+|MF2|

，
设∠MF₁F₂=α，∵∠F₁MF₂=

π

3

，∴0＜α＜

2π

3

，
由正弦定理，

c

a

=

sin π 3

sinα+sin( 2π 3 -α)

=

sin π 3

2sin π 3 cos( π 3 -α)

=

1

2cos( π 3 -α)

，
∵cos（

π

3

-α）的值域是（

1

2

，1]，
∴离心率e=

c

a

的取值范围是[

1

2

，1）．
（2）e=

1

2

时，a=2c，b=

3

c，设P（2ccost，

3

csint），
则PN²=（2ccost）²+（

3

csint-3

3

）²
=4c²[1-（sint）²]+3c²（sint）²-18csint+27
=-c²（sint）²-18csint+4c²+27
=-（csint+9）²+4c²+108，
∵|PN|≤4

3

，∴sint=-1时PN²取最大值3c²+18c+27=48，
∴c²+6c-7=0，c＞0，
∴c=1，a=2，b=

3

，椭圆的方程是

x2

4

+y2=1．
（3）当P由上顶点向右顶点运动时，|t|由0增大至

a-c

a

=1-e，
∵离心率e=

c

a

的取值范围是[

1

2

，1）．
∴t的取值范围是（-

1

2

，

1

2

）．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求不法，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．