Question

设函数f（x）满足xf′（x）+f（x）=

lnx

x

，f（e）=

1

e

，则函数f（x）（　　）

• A、在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
• B、在（0，+∞）上单调递增
• C、在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增
• D、在（0，+∞）上单调递减

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：首先求出函数f（x），再求导，判断函数的单调性

解答： 解：∵[x（f（x）]′=xf′（x）+f（x），
∴[xf（x）]′=

lnx

x

=（

ln2x

2

+c）′
∴xf（x）=

1

2

ln2x+c
∴f（x）=

ln2x

2x

+

c

x

∵f（e）=

1

e

，
∴

1

e

=

1

2e

+

c

e

即c=

1

2

∴f′（x）=

2lnx-ln2x

2x2

-

1

2x2

=-

ln2x-2lnx+1

2x2

=-

(lnx-1)2

2x2

＜0
∴f（x）在（0，+∞）为减函数．
故选：D．

点评：本题主要考查了导数和函数的单调性的关系，关键是求出函数f（x），属于中档题．