Question

8．已知点A（0，1），B（1，0），过线段AB上任意一点P作直线交以C（2，2）为圆心的圆M、N两点，且|PM|=|MN|，则圆C的半径r的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 设P，N的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以（2，2）为圆心，r为半径的圆与以（4-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得⊙C的半径r的取值范围，即可得出结论．

解答 解：直线AB的方程为x+y-1=0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因为点M是点P，N的中点，所以M（$\frac{m+x}{2}$，$\frac{n+y}{2}$），
又M，N都在半径为r的圆C上，所以$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（\frac{m+x}{2}-2）^{2}+（\frac{n+y}{2}-2）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{（x+m-4）^{2}+（y+n-4）^{2}=4{r}^{2}}\end{array}\right.$，
因为该关于x，y的方程组有解，即以（2，2）为圆心，r为半径的圆与以（4-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以（2r-r）²＜（2-4+m）²+（2-4+n）²＜（r+2r）²，
又m+n-1=0，
所以r²＜2m²-2m+5＜9r²对任意m∈[0，1]成立．
而f（m）=2m²-2m+5在[0，1]上的值域为[$\frac{9}{2}$，5]，
故圆C的半径r的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．