Question

20．己知函数f（x）=2^-|x|．
（1）把函数y=f（x）写成分段函数的形式，并作出其大致图象；
（2）根据图象写出其单调区间和值域；
（3）若方程2^-|x-1|=a有两个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值，可把函数y=f（x）写成分段函数的形式，并作出其大致图象；
（2）根据图象，即可写出其单调区间和值域；
（3）y=2^-|x-1|的图象是由f（x）=2^-|x|的图象向右平移1个单位，利用方程2^-|x-1|=a有两个解，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2^-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x≥0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，如图所示；
（2）单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞），值域是（0，1]；
（3）y=2^-|x-1|的图象是由f（x）=2^-|x|的图象向右平移1个单位．
∵方程2^-|x-1|=a有两个解，
∴0＜a＜1．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的图象，正确做出函数的图象是关键．