Question

15．已知函数$g（x）=2\sqrt{3}sinx•cosx+2{cos^2}x+m$在区间$[0，\frac{π}{2}]$的最大值为6．
（1）求常数m的值；
（2）求函数g（x）在x∈R时的最小值并求出相应x的取值集合．
（3）求函数y=g（-x）的递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，由x的范围利用正弦函数的图象可求$g（x）_{max}^{\;}=3+m=6$，即可解得m的值．
（2）由（1）可得：$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$，利用已知及正弦函数的图象可求g（x）的最小值，由$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}+2kπ$，解得相应x的取值集合．
（3）利用诱导公式可求g（-x）=$2sin（2x+\frac{5}{6}π）+4$，令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{5}{6}π≤2kπ+\frac{π}{2}$，可求单调递增区间．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$g（x）=2\sqrt{3}sinx•cosx+2{cos^2}x+m$=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+m+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，可得：$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴$g（x）_{max}^{\;}=3+m=6$，
∴m=3．…（4分）
（2）由（1）可得：$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$，
当x∈R时，g（x）最小值为2，此时$2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=-\frac{π}{3}+kπ（k∈Z）$取得最小值，
∴x的取值集合为：$\{x\left|{x=-\frac{π}{3}+kπ，k∈Z}\right.\}$．…（8分）
（3）$g（-x）=2sin（-2x+\frac{π}{6}）+4$=$2sin（2x+\frac{5}{6}π）+4$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{5}{6}π≤2kπ+\frac{π}{2}$，可得：$kπ-\frac{2}{3}π≤x≤kπ-\frac{π}{6}$，
∴增区间为：$[kπ-\frac{2}{3}π，kπ-\frac{π}{6}]（k∈Z）$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．