题目内容
已知z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），z1，z2∈C，定义：D（z）=ⅡzⅡ=|a|+|b|，D（z1，z2）=Ⅱz1-z2Ⅱ．给出下列命题：
（1）对任意z∈C，都有D（z）＞0；
（2）若
是复数z的共轭复数，则D（
）=D（z）恒成立；
（3）若D（z1）=D（z2）（z1，z2∈C），则z1=z2；
（4）（理科）对任意z1，z2，z3∈C，结论D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立．
其中真命题是 ．
（1）对任意z∈C，都有D（z）＞0；
（2）若
. |
| z |
. |
| z |
（3）若D（z1）=D（z2）（z1，z2∈C），则z1=z2；
（4）（理科）对任意z1，z2，z3∈C，结论D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立．
其中真命题是
考点：复数的基本概念
专题：数系的扩充和复数
分析：（1）取z=0，则D（z）=|0|+|0|=0，即可判断出正误；
（2）由于D（
）=D（z）=|a|+|b|恒成立，即可判断出正误；
（3）取z1=1+3i，z2=3+i，满足D（z1）=D（z2）（z1，z2∈C），但是z1≠z2，即可判断出正误；
（4）对任意zk=ak+bki∈C，（ak，bk∈R，k=1，2，3），可得D（z1，z3）=|a1-a3+（b1-b3）i|=|a1-a3|+|b1-b3|，D（z1，z2）+D（z2，z3）=|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|．利用绝对值不等式的性质即可判断出正误．
（2）由于D（
. |
| z |
（3）取z1=1+3i，z2=3+i，满足D（z1）=D（z2）（z1，z2∈C），但是z1≠z2，即可判断出正误；
（4）对任意zk=ak+bki∈C，（ak，bk∈R，k=1，2，3），可得D（z1，z3）=|a1-a3+（b1-b3）i|=|a1-a3|+|b1-b3|，D（z1，z2）+D（z2，z3）=|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|．利用绝对值不等式的性质即可判断出正误．
解答：
解：（1）取z=0，则D（z）=|0|+|0|=0，因此不是真命题；
（2）若
是复数z的共轭复数，则D（
）=D（z）=|a|+|b|恒成立，是真命题；
（3）取z1=1+3i，z2=3+i，满足D（z1）=D（z2）（z1，z2∈C），但是z1≠z2，因此是假命题；
（4）（理科）对任意zk=ak+bki∈C，（ak，bk∈R，k=1，2，3），
则D（z1，z3）=|a1-a3+（b1-b3）i|=|a1-a3|+|b1-b3|，
D（z1，z2）+D（z2，z3）=|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|．
∵|a1-a3|+|b1-b3|=|（a1-a2）+（a2-a3）|+|（b1-b2）+（b2-b3）|≤|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|．
∴D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，是真命题．
其中真命题是（2）（4）．
故答案为：（2）（4）．
（2）若
. |
| z |
. |
| z |
（3）取z1=1+3i，z2=3+i，满足D（z1）=D（z2）（z1，z2∈C），但是z1≠z2，因此是假命题；
（4）（理科）对任意zk=ak+bki∈C，（ak，bk∈R，k=1，2，3），
则D（z1，z3）=|a1-a3+（b1-b3）i|=|a1-a3|+|b1-b3|，
D（z1，z2）+D（z2，z3）=|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|．
∵|a1-a3|+|b1-b3|=|（a1-a2）+（a2-a3）|+|（b1-b2）+（b2-b3）|≤|a1-a2|+|b1-b2|+|a2-a3|+|b2-b3|．
∴D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，是真命题．
其中真命题是（2）（4）．
故答案为：（2）（4）．
点评：本题复数的运算法则、模的计算公式、绝对值不等式的性质、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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（ ）
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| ||
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| ||
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