Question

已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．

（Ⅰ）求圆C的标准方程；

（Ⅱ）设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）设圆C：(x-a)²+y²=R²(a>0)，由题意知

  解得a=1 或 a=，  

又∵ S=πR²<13，

∴ a=1，

∴ 圆C的标准方程为：(x-1)²+y²=4．  

（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．

当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

又∵ l与圆C相交于不同的两点，

联立消去y得：(1+k²)x²+(6k-2)x+6=0，

∴Δ=(6k-2)²-24(1+k²)=36k²-6k-5>0，

解得或．

x₁+x₂=，y₁+ y₂=k(x₁+x₂)+6=，

，，

假设∥，则，

∴ ，

解得，假设不成立．

∴ 不存在这样的直线l．