Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD=$\sqrt{3}$，DC=2AB=2，E为BC中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE
（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若存在，求$\frac{PF}{PC}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证平面PBC⊥平面PDE，只要证平面PBC内的直线BC⊥平面PDE即可．
（2）由线面平行的性质定理，若使PA∥平面BDF，则过直线PA的平面和平面BDF的交线会和PA平行，故作辅助线OF∥AP，再利用线面平行判定定理证明．确定F的位置，则利用三角形相似的相似比确定$\frac{PF}{PC}$的值．

解答 解：（Ⅰ）连接BD
在RT△DAB中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}+{1}^{2}}=2$  …（1分）
知△DBC是等腰三角形．
又∵E为BC的中点．
∴DE⊥BC   …（2分）
∵PD⊥平面ABCD，且BC?平面ABCD
∴PD⊥BC  …（3分）
∵PD∩DE=D
∴BC⊥平面PDE  …（4分）
又∵BC?平面PBC
∴平面PBC⊥平面PDE  …（5分）
（Ⅱ）线段PC上存在一点F，且$\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}$时，有PA∥平面BDF．…（6分）
证明如下：
连接AC交BD于点O，在平面PAC中过点O作OF∥PA，则交PC于F…（7分）
又∵OF?平面BDF，PA?平面BDF   
∴PA∥平面BDF      …（9分）
∵四边形ABCD中AB∥CD，
∴易知△ABO∽△CDO
又∵CD=2AB=2，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$   …（10分）
∵OF∥PA
∴$\frac{PF}{FC}=\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$  …（11分）
∴当$\frac{PF}{PC}=\frac{1}{3}$时，PA∥平面BDF …（12分）

点评 本题中考查了空间位置关系（两平面垂直的判定与性质，线面平行的判定与性质），相似比确定线段分点，考查了空间想象能力，分析能力．（1）中证直线BC⊥平面PDE是关键点，（2）中确定OF∥PA是突破点，题型较常规，属于中档题．