Question

7．已知椭圆4x²+y²=1及l：y=x+m．
（1）当m为何值时，直线l与椭圆有公共点？
（2）若直线l被椭圆截得的弦长为$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）把直线y=x+m代入4x²+y²=1得5x²+2mx+m²-1=0，利用△≥0，即可得出．
（2）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，利用根与系数的关系可得弦长，就看得出．

解答 解：（1）把直线y=x+m代入4x²+y²=1得5x²+2mx+m²-1=0，①
∴△=4m²-20（m²-1）=-16m²+20≥0，$-\frac{{\sqrt{5}}}{2}≤m≤\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
（2）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由①得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{2m}{5}\\{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-1}}{5}\end{array}\right.$，
∴${（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}={（-\frac{2m}{5}）^2}-\frac{{4（{m^2}-1）}}{5}=\frac{{-16{m^2}+20}}{25}$，
∴$|AB|=\sqrt{{{（1+k）}^2}[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{2×\frac{{-16{m^2}+20}}{25}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，
解得$m=±\frac{1}{2}$．
∴所求直线方程为$y=x±\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．