Question

10．已知数列{a_n}的前6项依次构成一个公差为整数的等差数列，且从第5项起依次构成一个等比数列，若a₁=-3，a₇=4．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求使S_n＞2016成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ），设前6项的公差为d（d∈Z），根据题意得到关于d的方程，求出d的值，即可得到数列的通项公式，
（Ⅱ）当n≥5，根据等比数列的前n项和公式，由此可得结论．

解答 解：（I）设前6项的公差为d（d∈Z），
依题意得${a_6}^2={a_5}{a_7}$即${（{a_1}+5d）^2}=（{a_1}+4d）•{a_7}$，将a₁=-3，a₇=4代入化简得：25d²-46d+21=0⇒d=1（$d=\frac{21}{25}$舍去）…（4分）
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-4，1≤n≤4，n∈{N}^{+}}\\{{2}^{n-5}，n≥5，n∈{N}^{+}}\end{array}\right.$，（6分）
（注：答案有多种形式，合理则相应给分）
（Ⅱ）依题意得：当n≤4时，S_n＞2016显然不成立，
当n≥5
∴${S_n}=-6+{2^{n-4}}-1={2^{n-4}}-7$，…（9分）
∴2^n-4-7＞2016，且n∈N₊解得n≥15，…（11分）
故最小正整数n的值为15．…（12分）

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．