Question

17．已知f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）证明f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）当m取何值时，f（x）=m在（-1，0）上有解．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，可得f（0）=0，当-1＜x＜0时，则0＜-x＜1，由已知解析式，化简整理结合奇函数的定义即可得到所求；
（2）证明导数小于0即可；
（3）利用函数的性质求函数f（x）的值域即可．

解答 （1）解：y=f（x）是（-1，1）上的奇函数，则f（0）=0，
当-1＜x＜0时，则0＜-x＜1，则有f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，
又f（-x）=-f（x），
则f（x）=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，（-1＜x＜0），
则y=f（x）在（-1，1）上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，-1＜x＜0}\\{0，x=0}\\{\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，0＜x＜1}\end{array}\right.$；
（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，f′（x）=$\frac{{2}^{x}（1-{4}^{x}）ln2}{（{4}^{x}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）解：若x∈（-1，0），f（x）=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=-$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{5}$）
∴m的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{5}$）．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用和证明，要求熟练掌握函数性质的综合应用．