Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．
（1）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：|PB|=|PD|．

Answer 1

分析 （1）菱形的对角线AC⊥BD，结合已知条件AC⊥PD，利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD；
（2）利用面面垂直的性质定理，结合AC⊥BD得到BD⊥平面PAC，从而BD⊥PO且PO是BD的垂直平分线，得到|PB|=|PD|；

解答 证明：（1）因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为AC⊥PD，PD∩BD=D，
所以AC⊥平面PBD…（4分）
（2）由（1）知AC⊥BD．
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC．
因为PO?平面PAC，
所以BD⊥PO．
因为底面ABCD是菱形，
所以|BO|=|DO|，
所以|PB|=|PD|．…（10分）

点评 本题给出一个特殊四棱锥，要我们证明线面垂直，着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．