Question

已知

m

=（cosx，-1），

n

=（1，-cos（x+

π

3

）），函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c已知f（A）=

3

2

，b=

3

a，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算性质、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用正弦定理、正弦函数的单调性、三角形的内角和定理即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

m

•

n

=cosx+cos(x+

π

3

)
=

3

2

cosx-

3

2

sinx
=

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)
=-

3

sin(x-

π

3

)．
由

π

2

+2kπ≤x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ解得2kπ+

5π

6

≤x≤2kπ+

11π

6

（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间为{x|2kπ+

5π

6

≤x≤2kπ+

11π

6

（k∈Z）}．
（2）∵f（A）=

3

2

，∴sin(A-

π

3

)=-

1

2

，解得A=

π

6

．
∵

a

sinA

=

b

sinB

，b=

3

a，∴sinB=

3

2

，∵B∈(0，

5π

6

)．
∴B=

π

3

，C=

π

2

，或B=

2π

3

，C=

π

6

．
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．

点评：本题考查了数量积运算性质、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、正弦定理、三角形的内角和定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．