Question

6．设函数$f（x）={x^2}+\frac{1}{x+1}，x∈[0，1]$．
（1）证明：$f（x）≥{x^2}-\frac{4}{9}x+\frac{8}{9}$；
（2）证明：$\frac{68}{81}＜f（x）≤\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=f （x）-x²+$\frac{4}{9}$x-$\frac{8}{9}$，化简求导，判断g（x）的单调性，求出最值即可得到结果．
（2）求出导数，设h（x）=2x³+4x²+2x-1，求出h′（x）求出 f （x）_max，结合（1）推出结果．

解答 （本题满分15分）
证明：（1）令g（x）=f （x）-x²+$\frac{4}{9}$x-$\frac{8}{9}$，即g（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{4}{9}$x-$\frac{8}{9}$，
所以$g'（x）=\frac{{4{x^2}+8x-5}}{{9{{（x+1）}^2}}}=\frac{（2x-1）（2x+5）}{{9{{（x+1）}^2}}}$，
所以g（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上递减，在$（{\frac{1}{2}，1}）$上递增，
所以g（x）≥$g（{\frac{1}{2}}）$=0，所以f （x）≥x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{8}{9}$．   …（7分）
（2）因为$f'（x）=\frac{{2{x^3}+4{x^2}+2x-1}}{{{{（x+1）}^2}}}$，x∈[0，1]，
设h（x）=2x³+4x²+2x-1，h′（x）=6x²+8x+2，
因为h（0）=-1，h（1）=7，
所以存在x₀∈（0，1），使得f′（x）=0，且f （x）在（0，x₀）上递减，在（x₀，1）上递增，
所以 f （x）_max={ f （0），f （1）}=f （1）=$\frac{3}{2}$．
由（1）知，f （x）≥x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{8}{9}$=${（{x-\frac{2}{9}}）^2}+\frac{68}{81}$≥$\frac{68}{81}$，
又$f（{\frac{1}{2}}）$=$\frac{11}{12}$$＞\frac{68}{81}$，$f（{\frac{2}{9}}）=\frac{773}{891}＞\frac{68}{81}$，
所以$\frac{68}{81}$＜f （x）≤$\frac{3}{2}$．                         …（8分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．