Question

15．某班有25名男生、15名女生共40人，现对他们更爱好文娱还是更爱好体育进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如图．
（1）根据图中数据，制作2×2列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.10的前提下认为性别与是否更爱好体育有关系？
（2）若要从更爱好体育的学生中各随机选2人，求所选2人中女生人数X的期望；
（3）若要从更爱好文娱和更爱好体育的学生中各选一人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一男一女的概率；
参考数据：

P（K2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

	更爱好体育	更爱好文娱	合计
男生
女生
合计

Answer 1

分析 （1）根据图中数据，作出2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K²≈2，667＜2.706．不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为性别与更爱好体育有关系；
（2）选2人中女生人数X取值为0，1，2，分别求得P（X=0），P（X=1），P（X=2），完成分布列表格，即可求得2人中女生人数X的期望E（X）；
（3）由题意知是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是20×20，满足条件的事件是一男一女，共有15×10+5×10，得到概率．

解答 解：（1）将二维条形转化成2×2列联表：

	更爱好体育	更爱好文娱	合计
男生	15	10	25
女生	5	10	15
合计	20	20	40

由K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{40×（15×10-10×5）^{2}}{25×15×20×20}$≈2，667＜2.706．
故不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为性别与更爱好体育有关系；
（2）由所选2人中女生人数X取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{15}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{5}{38}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{1}{19}$，
X的分布列：

X	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{5}{38}$	$\frac{1}{19}$

所选2人中女生人数X的期望E（X）=1×$\frac{5}{38}$+2×$\frac{1}{19}$=$\frac{1}{2}$；
（3）由题意知，试验发生包含的基本事件个数为：20×20=400，
满足条件的事件数是15×10+5×10=200，
两人恰好是一男一女的概率P=$\frac{200}{400}$=$\frac{1}{2}$；
两人恰好是一男一女的概率$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查超几何分布的计算公式、分布列和数学期望及其排列与组合的计算公式，考查计算能力，属于中档题．