Question

6．已知函数f（x）=x⁴lnx-a（x⁴-1），a∈R．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）f（x）的极小值为φ（a），当a＞0时，求证：$\frac{1}{4}（{{e^{1-\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}}）≤φ（a）＜0$．（e=2.71828…为自然对数的底）

Answer 1

分析 （1）求出导函数，利用导函数的概念求切线的斜率，点斜式写出方程即可；
（2）f（x）≥0恒成立，只需求出f（x）的最小值大于等于零即可，求出导函数，对参数a分类讨论，讨论是否满足题意；
（3）根据导函数求出函数的极小值φ（a），对极小值进行求导，利用导函数得出极小值的最大值等于零，右右不等式得证，再利用构造函数的方法，通过导函数证明左式成立．

解答 解：（1）f'（x）=4x³lnx+x³-4ax³．…（1分）
则f'（1）=1-4a．又f（1）=0，
所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（1-4a）（x-1）．…（3分）
（2）由（1）得f'（x）=x³（4lnx+1-4a）．
①当$a≤\frac{1}{4}$时，因为y=4lnx+1-4a为增函数，所以当x≥1时，4lnx+1-4a≥4ln1+1-4a=1-4a＞0，
因此f'（x）≥0．
当且仅当$a=\frac{1}{4}$，且x=1时等号成立，
所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．
因此，当x≥1时，f（x）≥f（1）=0．
所以，$a≤\frac{1}{4}$满足题意．…（6分）
②当$a＞\frac{1}{4}$时，由f'（x）=x³（4lnx+1-4a）=0，得$lnx=a-\frac{1}{4}$，
解得$x={e^{a-\frac{1}{4}}}$．
因为$a＞\frac{1}{4}$，所以$a-\frac{1}{4}＞0$，所以${e^{a-\frac{1}{4}}}＞{e^0}=1$．
当$x∈（1，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$时，f'（x）＜0，因此f（x）在$（1，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$上为减函数．
所以当$x∈（1，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$时，f（x）＜f（1）=0，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是$（-∞，\frac{1}{4}]$．…（9分）
（3）由f'（x）=x³（4lnx+1-4a）=0，得$lnx=a-\frac{1}{4}$，$x={e^{a-\frac{1}{4}}}$．
当$x∈（0，\;{e^{a-\frac{1}{4}}}）$时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当$x∈（\;{e^{a-\frac{1}{4}}}，\;+∞）$时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
所以f（x）的极小值$φ（a）=f（{e^{a-\frac{1}{4}}}）$=$a-\frac{1}{4}{e^{4a-1}}$．…（10分）
由φ'（a）=1-e^4a-1=0，得$a=\frac{1}{4}$．
当$a∈（0，\frac{1}{4}）$时，φ'（a）＞0，φ（a）为增函数；当$a∈（\frac{1}{4}，+∞）$时，φ'（a）＜0，φ（a）为减函数．
所以$φ（a）≤φ（\frac{1}{4}）=0$．…（11分）
$φ（a）-\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）$=$a-\frac{1}{4}{e^{4a-1}}-\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）$=$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}$．
下证：a＞0时，$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}≥0$．
$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}≥0$，
∴$4a≥{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}$，
∴$ln（4a）≥1-\;\frac{1}{4a}$，
∴$ln（4a）+\frac{1}{4a}-1≥\;0$．…（12分）
令$r（a）=ln（4a）+\frac{1}{4a}-1$，则$r'（a）=\frac{1}{a}-\frac{1}{{4{a^2}}}=\frac{4a-1}{{4{a^2}}}$．
当$a∈（0，\frac{1}{4}）$时，r'（a）＜0，r（a）为减函数；当$a∈（\frac{1}{4}，+∞）$时，r'（a）＞0，r（a）为增函数．所以$r（a）≥r（\frac{1}{4}）=0$，即$ln（4a）+\frac{1}{4a}-1≥\;0$．
所以$a-\frac{1}{4}{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}≥0$，即$φ（a）-\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）≥0$．所以$φ（a）≥\frac{1}{4}（{e^{1-\;\frac{1}{4a}}}-{e^{4a-1}}）$．
综上所述，要证的不等式成立．…（14分）

点评 考查了导函数的概念，恒成立问题的转化，利用导函数判断函数的最值，难点是对函数的构造，对导函数的分类讨论．